「大学への数学」の問題の一般化

今月号の「大学への数学」の問題に、次のようなものがありました。

「問題」
4 人でじゃんけんをして k 回目になって初めて一人が勝ち残るときの確率を P(k) で表すとき、P(1), P(2), P(3) を求めよ。
（大東文化大）

文章は原題と違いますが、題意は同じです。
さて、私はこの問題を解いたあとで、次のように一般化してみました。

「問題」
n 人でじゃんけんをして k 回目になって初めて一人が勝ち残るときの確率を P(n,k) で表す。
P(n,k) を求めよ。

作ったらからには解かなきゃならぬ。
ということで、早速取り組んでみましたが、撃沈しました。
調べてみたところ、n=3 の場合が、過去に東大で入試問題として出題されていました。
つまり、東大の入試問題より難しい問題、ということですね。
何とか近日中には解きたいと思いますが…。

ちなみに、n=3 の場合の東大の問題は解けました。
答えは

になります。
所要時間約20分。

数学力をつけるには、このように、本にある問題を一般化した問題を解いてみる、ということがしばしば効果的であるように思われます。
ただし、一般化した途端にとてつもなく難しくなる可能性もあり、下手をすると数学の未解決問題になってしまったりします。
しかし、その場合でも、答えが求まらないまでも、解こうと奮闘することによって数学的思考能力が向上します。